第二百五十八章 微分方程，共轭梯度，泰勒公式！
A4纸张大小的纸上，列着三道题目。 三道题目都有被圈画的痕迹。 卢教授自然不会提前知道程诺要上他这来申请免听。 那么…… 他从书桌的一摞资料中看似随便抽出的题目。并非是为程诺专门准备的。 从纸张上那圈画的痕迹来看，这三道题目，被人曾经做过一遍。 而那个人，很有可能就是坐在自己面前的卢教授。 不过，想通了这件事，对程诺目前的处境来说并没有什么卵用。 无论这三道题目是怎么来的，曾经被谁做过，程诺想要让卢教授在免听申请表上签字，就必须做出这三道题目中的一道。 三选一，做对即可！ 以卢教授的性格，能提出这样的条件，那足以证明，程诺手中拿着的这张纸上的三道题目，绝非等闲之辈！ 其威势，绝对能在瞬间斩杀数以万计的学渣！ 容不得程诺不谨慎对待。 程诺看向坐在办公桌的位子上卢教授，走上前开口道，“老师，我没带书包过来，能不能借用一下笔和草稿纸？” 卢教授放下笔，抬头看了一眼一脸人畜无害笑容的程诺，弯下腰，拉开办公桌的抽屉，将笔和草稿纸递给程诺。 他指了一旁的一张书桌，“你就在那边做吧，做完叫我。” 说完，他再次低下头，继续他手中的工作。 而程诺也听话，拿上笔和草稿纸，走到卢教授指的那个书桌前，拉过一把椅子坐下。 那张列着三道题目的A4纸，也被程诺铺平放在桌上。 程诺依次看三道题目，决定选择哪一题作为突破口。 第一题：【已知椭圆柱面S。 r(u，v)={acosu，bsinu，v}，-π≤u≤π，﹣∞≤v≤＋∞ （1）：求S上任意测地线的方程。 （2）：设a=b，取p=（a，0，0)，Q=r(u，v)={acosu0，bsinu0，v0}，-π≤u0≤π，﹣∞≤v0≤＋∞，写出S上连接P，Q两点的最短曲线方程。】 第二题：【推导求解线性方程组的共轭梯度法的计算格式，并证明该格式经有限步迭代后收敛。】 第三题：【设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，min（0≤x≤1)f(x)=-1。 证明：存在η∈（0，1）使得f(η)》8。】 从头到尾看完这三道题目后，程诺的眉头紧皱。 第一道题目，算是一个综合性很强的题目。 椭圆方程，三角函数，微分方程，向量运算。 四个方面的内容相结合，也就导致了这道题目的超高难度。 求解第一问需要向量和三角函数的知识，这个到对程诺来说没什么难度。 可第二问，主要需要的是常微分方程的知识。 关于常微分方程，其实在卢教授正在教授的这本《高等数学》上册的最后的一章里，就有涉及。 不过，本来就是一本基础性数学教学书籍，高等数学所讲的内容，只是一些最为基础简单的解法，皮毛而已。 甚至，或许连皮毛都称不上。 而数学系那边，要大二的时候，才有一本叫做《常微分方程》的专业课，专门详细的讲解这类方程。程诺是跟着今年大一的数学系一块上课的，自然还未学到。 以目前程诺仅有的知识来看，第二问，应该是用求解常微分方程的皮卡-林德勒夫定理来进行求解。 可关于皮卡-林德勒夫定理，程诺只是略有耳闻。距离灵活运用，程诺还差着不小的距离。 第一题，程诺只能战略性放弃。 至于第二道题目，这就更让程诺蛋疼了。 所谓的线性方程组的共轭梯度法，就是通过差分离散Laplace方程，得到一个大型线性方程组。 题目的要求，就是要求将这个方程组一般格式，进行不断的迭代运算，通过残差的递推关系，确定正交的方程组，确定那个趋近的那个收敛值。 要说第一道题目中微分方程求解方式，勉强算是和高数有关的内容的话。 那第二道题目，和高数中所讲解的内容，简直特么的半毛钱的关系的都没有啊！ 什么共轭梯度法，Laplace方程，残差递推关系，完全不是程诺这个大一新生应该掌握的内容。 而确实，和上一道题目一样，这些内容，程诺只是听过。 至于解题，抱歉，程诺实在是做不到啊！ 本来，程诺还想着这三道题目都给他做出来，好好的震惊卢教授一把。 可奈何……实力不足。 不过，值得程诺庆幸的，第三道题目对程诺来说还算是非常友好的。只要运用泰勒公式的特殊形式，麦克劳林展开式，外加施勒米尔希-罗什余项的相关知识，就能完美求解。 泰勒公式，算是整个高数上册知识中最为复杂难懂的内容。在此葬送了无数的天骄。 其一般用于计算误差。一般的关于泰勒公式的题目，只需要简单的公式代入。 而程诺面前的这道题目却并非这样。 那真的需要一个个去用泰勒公式展开。 工作量，相当复杂！ 但和前两道题的完全不会做相比，程诺只能选择这个考验计算量的题目了。 开工吧！ 程诺搓搓手，将一摞草稿纸拿到自己面前。 既然选定了题目，那就尽全力去做。 那个免听申请，自己是一定要拿到的！ 紧闭双眼，思绪在脑中高速飞转。 半分钟后，程诺的双眼陡然睁开，一抹精光闪过。他嘴角微翘，拿起笔，在草稿纸上一边写一边计算。 【f(x)=f(t)/0! f'(t)/1!*(x-a) f''(t)/2!*(x-a)^2…… ………… 0=f(0)=-1 f''(t1)/2!x0^2 0=f(1)=…… 又因为0≤x≤1，所以f(η)=max{2/x^2，2/(1-x0)^2}≥8！】 搞定！ 用了十多分钟的时间，程诺列了整整一张A4纸的公式，终于将这道题目算了出来。 那一瞬间，成就感满满。 检查了一遍，确认没有问题后，程诺盖上笔帽，拿起自己的答案，起身走到卢教授面前。 “教授，我做完了。”程诺轻声开口。 卢教授抬头先看了一眼程诺，随后抬起手腕看了看时间。 他那张略显严肃的脸上，也流露出微微讶然的神情。 显然，程诺的速度，超出于他的预计。 他认认真真的上下打量一眼，倒是不着急接过程诺写好的答案，反而是笑着问，“你做的是第几道题目？” “第三道。”程诺老老实实回答。 “那你知道这三道题目是我从哪拿来的吗？”卢教授开口。 程诺摇头。 卢教授请吐出一句话，“去年全国大学生数学竞赛数学类三、四年级总决赛最后压轴的三道题，就是这三道。” “那次，没有一位学生，能够全部做对最后这三道题目。”